Hoofdstuk 30 Power voor correlaties

In dit hoofdstuk wordt besproken:

steekproef omvang en power bij correlaties.

Deze stof wordt behandeld in de volgende Open Universiteitscursus(sen):

Onderzoekspracticum inleiding onderzoek PB0212
Onderzoekspracticum cross-sectioneel onderzoek PB0812

Dit hoofdstuk bouwt voort op deze andere hoofdstukken:

Correlaties

30.1 Correlaties schatten

Voordat een studie wordt uitgevoerd, is het vaak nodig om te berekenen hoeveel deelnemers er nodig zijn. Vaak willen onderzoekers effectgroottes zoals de correlatiecoëfficiënt berekenen en willen deze met een bepaalde accuraatheid kunnen schatten. In andere woorden, onderzoekers willen een betrouwbaarheidsinterval met een gegeven maximale breedte verkrijgen rondom hun schatting van een correlatie.

Een betrouwbaarheidsinterval van \(.10\) breed is bijvoorbeeld een interval dat loopt van \(.35\) tot \(.45\) bij een puntschatting van de correlatie van \(.40\). De helft van het betrouwbaarheidsinterval, dat is de afstand van de puntschatting tot de rand van het interval, wordt ook wel de foutenmarge genoemd. Bij een betrouwbaarheidsinterval van \(.10\) varieert de benodigde steekproef van ruim \(1500\) deelnemers, als een hele lage correlatie wordt verwacht, tot ruim \(60\) deelnemers, als een correlatie van bijna \(1\) wordt verwacht.

Natuurlijk kunnen onderzoekers ook genoegen nemen met bredere intervallen. Bij een steekproefcorrelatie van \(.40\) zou een betrouwbaarheidsinterval van \(.30\) breed alle correlaties van \(.25\) tot \(.55\) bevatten. Als een betrouwbaarheidsinterval van \(.30\) volstaat, zijn zelfs bij een hele lage verwachte populatiecorrelatie \(171\) deelnemers voldoende. Het nadeel van zulke brede intervallen is dat de populatiecorrelatie dan zowel een zwak verband (want \(.25\) is lager dan \(.30\)) als een sterk verband (want \(.55\) is hoger dan \(.50\)) zou kunnen zijn. Op basis van een dergelijke studie zou de conclusie dus zijn dat het verband waarschijnlijk zwak, middelsterk of sterk is. Het liefst trekken onderzoekers natuurlijk accurater conclusies. De prijs hiervoor is grotere steekproeven.

Hieronder is in de tabellen te zien hoeveel deelnemers nodig zijn bij een bepaalde correlatie en betrouwbaarheidsinterval.

Tabel 30.1: Benodigde steekproefomvang om correlaties van .10 tot .90 te schatten met een 95%-betrouwbaarheidsinterval met foutenmarges van .05 tot .50
	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.35	0.4	0.45	0.5
r = 0.1	1507	378	168	95	61	43	32	25	20	16
r = 0.2	1417	355	159	90	58	41	30	24	19	16
r = 0.3	1274	320	143	81	53	37	28	22	18	15
r = 0.4	1086	273	123	70	46	32	24	19	16	13
r = 0.5	867	219	99	57	37	27	20	16	13	11
r = 0.6	633	161	74	43	29	21	16	13	11	10
r = 0.7	404	105	49	30	21	15	12	10	9	8
r = 0.8	205	56	28	18	14	11	9	8	7	7
r = 0.9	63	21	13	11	9	8	7	7	6	6

Tabel 30.2: Benodigde steekproefomvang om correlaties van .10 tot .90 te schatten met een 99%-betrouwbaarheidsinterval met halfbreedtes (foutenmarges) van .05 tot .50
	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.35	0.4	0.45	0.5
r = 0.1	2600	650	288	162	103	72	53	40	32	26
r = 0.2	2446	611	271	153	98	68	50	38	30	25
r = 0.3	2198	550	245	138	88	61	45	35	28	23
r = 0.4	1874	469	209	118	76	53	40	31	24	20
r = 0.5	1495	376	168	96	62	44	33	26	21	17
r = 0.6	1091	276	125	72	47	34	26	20	17	14
r = 0.7	696	178	82	48	33	24	19	16	13	11
r = 0.8	352	94	46	29	21	16	13	12	10	9
r = 0.9	106	34	21	17	14	12	11	9	8	7

In Figuur 30.1 is de steekproefgrootte getoond als functie van de foutenmarge voor drie correlaties.

In Tabel 30.1 staat vergelijkbare informatie. De figuur laat onder andere zien dat je op basis van enkele personen, bijvoorbeeld \(10\), wel een correlatie kan schatten, maar dat deze dan zeer onnauwkeurig zal zijn (grote foutenmarge). Marges kleiner dan \(0.1\) kunnen alleen bij hele grote steekproeven worden bereikt.

Figuur 30.1: Steekproefomvang bij power van 95%, voor diverse foutenmarges en correlaties 0.2, 0.4 en 0.6.

30.2 Nulhypothese-significantietoetsing

In de tabellen 30.1 en 30.2 staan de vereiste steekproeven, gegeven een bepaalde nauwkeurigheid van de schatting van de correlatie. Bij nulhypothese-significantietoetsing gaat het erom te toetsen of de correlatie van \(0\) afwijkt, de nulhypothese zegt namelijk dat \(r = 0\). Ook bij nulhypothese-significantietoetsing is er sprake van power en is de vereiste steekproef afhankelijk van de gewenste power.

In Tabel 30.3 staat het aantal deelnemers dat nodig is om een power van \(80\%\), \(90\%\), \(95\%\) en \(99\%\) te bereiken voor populatiecorrelaties van \(.10\) tot \(.90\), uitgaande van een alpha van \(.05\).

Tabel 30.3: Benodigde steekproefomvang bij power van \(80%\), \(90%\), \(95%\) en \(99%\) voor populatiecorrelaties van \(.10\) tot \(.90\)
	80%	90%	95%	99%
0.1	782	1046	1293	1828
0.15	346	463	571	807
0.2	194	258	319	450
0.25	123	164	202	284
0.3	85	112	138	194
0.35	61	81	100	140
0.4	46	61	75	105
0.45	36	47	58	81
0.5	29	38	46	64
0.55	23	30	37	51
0.6	19	25	30	41
0.65	16	20	24	33
0.7	13	17	20	27
0.75	11	14	17	22
0.8	9	12	14	18
0.85	8	10	11	15
0.9	7	8	9	12

In Figuur 30.2 is de voor nulhypothesetoetsing vereiste steekproefomvang getoond als functie van de correlatie en bij een power van \(80\%\), \(90\%\) en \(99\%\). De figuur is afgekapt bij \(n=400\), maar het is duidelijk dat de steekproef heel groot moet zijn om lage correlaties te toetsen tegen de nulhypothese.

Figuur 30.2: Steekproefomvang voor power van 80%, 90% en 99%, voor diverse populatiewaarden van de correlatie.

30.2.1 Meerdere correlaties tegelijk schatten

Het is zeldzaam dat er op basis van een dataset slechts één \(p\)-waarde wordt uitgerekend. Het aantal \(p\)-waarden ligt in de praktijk meestal hoger. Om de kans op een type 1-fout acceptabel te houden, is het dus bijna altijd nodig om te corrigeren voor multiple testing (kanskapitalisatie). Dit gebeurt meestal via de Bonferroni of Sidak correctie, die het phenomeen van kanskapitalisatie tegengaan (lees meer over kanskapitalisatie in het hoofstuk over variantieanalyse). In de praktijk gebeurt dit niet altijd voldoende, zelfs niet in gepubliceerd onderzoek. De noodzaak om te corrigeren voor multiple testing resulteert in een lagere power. Dit moet gecompenseerd worden met grotere steekproeven om de kans op type 2-fouten acceptabel te houden.

In Tabel 30.4 staat het aantal deelnemers dat nodig is om een power van \(80\%\) te bereiken voor populatiecorrelaties van \(.10\) tot \(.90\), als er in een studie meerdere p-waarden berekend worden. Hierbij wordt ervan uitgegaan dat de onderzoeker de kans op een type 1-fout bij alle correlaties tezamen op \(5\%\) wil houden. De aangepaste alpha per toets wordt daarom naar beneden bijgesteld (alpha_adj genoemd in Tabel 30.4), en wel zodanig dat de type 1-fout op \(5\%\) blijft.

Tabel 30.4: Powertabel voor power van 80% met in de kolommen populatiewaarden van Pearson’s r van .1 tot .9 en in de rijen het aantal \(p\)-waarden in een studie, variërend van 1 tot 20
aantal	alpha_adj	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
1	0.05	1564	388	170	92	58	38	26	18	14
2	0.03	1888	466	204	112	68	46	32	22	16
3	0.02	2078	514	224	122	76	50	34	24	16
4	0.01	2212	546	238	130	80	52	36	24	16
6	0.01	2402	592	258	140	86	56	38	26	18
10	0.01	2640	652	284	154	94	62	42	28	20
20	0.00	2962	730	318	172	106	68	46	32	22

Tabel 30.5 is dezelfde tabel, maar nu voor een power van \(95\%\).

Tabel 30.5: Powertabel voor power van 95% met in de kolommen populatiewaarden van Pearson’s r van .1 tot .9 en in de rijen het aantal \(p\)-waarden in een studie, variërend van 1 tot 20
aantal	alpha_adj	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
1	0.05	2586	638	276	150	92	60	40	28	18
2	0.03	2998	738	320	174	106	68	46	32	20
3	0.02	3236	796	346	186	114	74	50	34	22
4	0.01	3404	838	362	196	120	78	52	34	22
6	0.01	3638	896	388	210	128	82	54	36	24
10	0.01	3930	968	418	226	138	88	58	40	26
20	0.00	4322	1064	460	248	150	98	64	42	28